Розрахунок сили гідростатичного тиску на плоску прямокутну поверхню
Задача № 2
Умова задачі. Вода у закритому сосуді тисне на плоску прямокутну кришку, яка розташована на боковій вертикальній грані (рис.1). На вільну поверхню рідини діє вакуумметричний тиск \( p_{vac}=6 кПа\). Рівень вільної поверхні рідини вище верхньої гранні кришки на висоту прошарку \( h_{1}=0.4 м\). Розмір кришки: висота \( H=120 см\), ширина \( B=800 мм\). Густина води \( \rho = 1000 \frac{кг}{м^3} \). Визначити параметри вектру рівнодійної силу гідростатичного тиску води \( \vec{P} \) на плоску прямокутну кришку у боковій вертикальній поверхні баку та побудувати епюру гідростатичного тиску. На малюнку представити всі розраховані параметри, які визначають величину й положення вектору рівнодійної сили гідростатичного тиску.
Рекомендації
В розрахунках використовуємо розмірність величин в Міжнародній системі "СІ". Розмірність вихідних величин: висота \( H=1.2 м\), ширина \( B=0.8 м\), висота прошарку води над верхньою гранню поверхні \( h_{1}=0.4 м\), густина води \( \rho = 1000 \frac{кг}{м^3}\), манометричний тиск на вільну поверхню рідини \( p_{vac}=6000 Па\).
Сила гідростатичного тиску - векторна величина, яка характеризується трьома параметрами:
величиною за модулем;
сила тиску є зв'язаний вектор, який має точку прикладання - цент тиску. Визначити координати центу тиску або глибину занурення відносно вільної поверхні рідини, на яку діє атмосферний тиск;
напрям дії. Сила тиску, як і тиск, діє нормально до поверхні, а напрям дії однозначно визначається положенням плоскої поверхні у просторі.
Розрахувати величину вектора сили, глибину занурення центру тиску, побудувати епюру гідростатичного тиску на змочену поверхню кришки. На малюнку показати: центр ваги - точка \(C \), центр тиску - точка \(D \), вектор рівнодійної сили гідростатичного тиску - \( \vec{P} \), показати форму епюри з векторами напряму дії тиску на поверхню. Приклад на малюнку Рис.1
Рис.1 Тиск на вільній поверхні рідини вакуумметричний \(p_{vac}\)
Алгоритм розрахунку
П'єзометрична висота, яка відповідає вакуумметричному тиску \( h_{2}=\frac{p_{vac}}{\rho \cdot g} \).
Загальна висота кришки й прошарку води з вакуумметричним тиском на поверхні \( H_{all}=H+h_{1} \).
Загальна висота кришки та прошарок води за вичетом п'єзометричної висоти, яка відповідає вакуумметричному тиску \( H_{all}=H+h_{1}-h_{2} \).
Загальна висота змоченої поверхні кришки \( H_{all} \), на яку діє надлишковий ( манометричний ) тиск рідини меньша за фізичні розміри кришки \( H \). На рисунку 1 показано \( H_{all} \lt H \).
Глибина занурення центру ваги \(h_{C}^{'}=\frac{H_{all}}{2}\). На рисунку \(h_{C}^{'}\) показано червоним кольором.
Гідростатичний тиск у центрі ваги поверхні \(p_{C}=\rho gh_{C}^{'}\) .
Площа змоченої поверхні із врахуванням скорегованої нової висоти кришки \(w=B\cdot H_{all}\).
Сила гідростатичного тиску на змочену поверхню \(P=p_{C}\cdot w\).
Момент інерції поверхні - висотою \(H_{all}\) - відносно горизонтальної осі, яка проходить через центр ваги \(I_{0}=\frac{B \cdot H_{all}^{3}}{12}\) (Формули ...).
Глибина занурення центру тиску \(h_{D}^{'}=h_{C}^{'}+\frac{I_{0}}{h_{C}^{'}\cdot w}\).
Координата центру тиску відносно нижньої грані \(h_{D_{cr}^{'}}=H_{all} - h_{D}^{'}\).
7.Координата центру тиску відносно нижньої грані кришки:
\[H_{all}=H+h_{1}-h_{2}, H_{all} \lt H\]
\[h_{D_{cr}}=H_{all}-h_{D}^{'},\]
\[h_{D_{cr}} = 0.988 - 0.659 = 0.329 [м].\]
8.Епюра гідростатичного тиску
Рис.2 Тиск на вільній поверхні рідини вакуумметричний \(p_{vac}\)
Сила гідростатичного тиску \( \vec{P} \) на занурену у рідину плоску прямокутну кришку з вакуумметричним тиском \(p_{vac}\)на поверхні рідини:
тиск на вільній поверхні рідини вакуумметричний \(p_{vac}\);
прошарок рідини над верхньою гранню кришки \(h_{1}\);
п'єзометрична висота, яка відповідає вакуумметричному тиску \(h_{2}\);
центр ваги поверхні \(h_{C}^{'}\), на малюнку показано червоним кольором;
глибина занурення центру ваги відносно перерізу \( 0-0 \) є \(h_{C}^{'}\). На малюнку позначено точка \(s\) - в цій площині тиск дорівнює атмосферному. Нижче перерізу \( 0-0 \) на кришку з боку рідини діє надлишковий тиск. На верхню заштриховану частину кришки тиск з боку рідини меньше атмосферного. Рівнодійна сила тиску діє ззовні, що вдображає епюра тиску між точками \(s,m\);
глибина занурення центру тиску відносно вільної поверхні рідини \(h_{D}^{'}\);
вектор сумарної сили тиску \( \vec{P} \);
переріз епюри сили гідроститичного тиску відносно її вертикальної осі симетрії - трапеція "steu",
координата центру тиску відносно (точка t) - нерухомої нижньої грані поверхні \(h_{D_{cr}}\),
точка \(v\) - заданий рівень рідини з манометричним тиском \(p_{м}\),
точка \(m\) - рівень вільної поверхні рідини з атмосферним тиском \(p_{а}\) при якому тиск на рівні точки \(v\) утворюється заданий манометричний тиск \(p_{м}\).
Всі розрахункові формули
Рис.3 Тиск на вільній поверхні рідини вакуумметричний \(p_{vac}\)
Особливості задачі та формули визначення параметрів векторної величини - сили гідростатичного тиску \( \vec {P}\) - в умовах вакуумметричного тиску \(p_{vac}\)на вільній поверхні рідини:
в задачі розраховується дія виключно надлишкового (манометричного ) тиску рідини на поверхню кришки. Зі сторони повітря з зовнішньої сторони на кришку також діє атмосферний тиск. Саме тому, при визначенні рівнодійної сили тиску на кришку з боку рідини, ми розраховуємо виключно дію манометричного (або іншими словами - більшого за атмосферу) тиску з боку рідини;
особливість умови задачі полягає у тому, що є тільки частина поверхні на яку діє надлишковий (манометричний) тиск з боку рідини. ЇЇ позначено сірим кольором. Решта поверхні - верхня частина під дією вакуумметричного тиску, яки меньше за атмосферний й тому напрям суммарної дії - тиску - відбувається ззовні;
площа верхньої частини поверхні, на яку діє вакуумметричний тиск, заштриховано й не враховується у розрахунках;
вакуумметрична висота (на малюнку позначено - \(h_{2}\) ) — це геометрична інтерпретація вакууму в одиницях довжини (метри, міліметри вод. ст.). Вона показує, наскільки п'єзометричний рівень опускається нижче рівня вільної поверхні рідини. Розраховуємо величину вакуумметричної висоти за формулою - \(h_{2}=\frac {p_{vac}} {\rho \cdot g} \). За умовою даної задачі ця висота більша за прошарок рідини \(h_{1}\) над верхньою гранню поверхні;
визначено горизонтальну площину рідини з атмосферним тиском (на малюнку переріз 0-0). Висота поверхні на яку діє надлишковий тиск з боку рідини \(H_{all}=H+h_{1}-h_{2}\) меньша висоти всієї поверхні, яку на малюнку позначено величиною \(H\). Відносно визначеної висоти \(H_{all}\) розраховано глибину занурення центр ваги змоченої поверхні \(h_{C}^{'}=\frac{H_{all}}{2} \). Не плутати з центром ваги всієї поверхні \(h_{C}=\frac{H}{2} \);
визначено глибину занурення центру ваги поверхні \(h_{C}^{'} \) відносно вільної поверхню рідини з атмосферним тиском - на рисунку відстань між горизонтальною площиною - переріз 0-0 і точкою центру ваги \( C \) ;
розраховано величину гідростатичного тиску \(p_{c}= \rho \cdot g \cdot h_{C}^{'}\) в центрі ваги визначеної висоти кришки - на малюнку \( т.C \);
розраховано величину частини площі поверхні на яку діє надлишковий (манометричний ) гідростатичний тиск \(w= H_{all} \cdot B\) ;
розраховано силу гідростатичного тиску \(P= p_{c} \cdot w\) ;
визначено момент інерції прямокутника відносно горизонтальної осі, яка проходить через центр ваги \(I_{0}= \frac{B \cdot H_{all}^3}{12}\) ;
глибина занурення центру тиску (на рисунку 3 точка \(D\) ) відносно площини 0-0 \(h_{D}^{'}= h_{C}^{'}+\frac{I_{0} }{h_{C}^{'} \cdot w}\) ;
інший варіант - центр тиску відносно нерухомої точки відрахунку - координати центру тиску (на рисунку 3 точка \(D\) )відносно нижньої грані кришки (на рисунку 3 точка \(t\) ) - \(h_{D_{coord}}^{'}= H_{all}- h_{C}^{'}\);
на малюнку відповідні глибини центрів ваги й тиску \(h_{C}^{'}, h_{D}^{'}\) й координата \(h_{D_{coord}}^{'}\), вектор сумарної сили гідростатичного тиску \(\vec {P}\), центр тиску - точка \(D\) , точка відрахунку координат центру тиску відносно нижньої грані кришки - точка \(t\) позначено червоним кольором.
гідростатичний тиск позначається прописною буквою \(p\), вимірюється у Паскалях, є скалярною величиною, діє в точці. Рівнодійна сила гідростатичного тиску на поверхню відповідно позначається строковою буквою \( \vec {P} \), вимірюється у Ньютонах, є векторною величиною й характеризується трьома параметрами: величиною вектора за модулем, точкою прикладання й напрямом дії. Тиск й сила тиску діють нормально до поверхні.